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Polyèdres flexibles

Par Flavien Breuvard

Histoire et exemples de ces objets mathématiques étonnants et méconnus.

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Polyèdre flexible

Historique

La conjecture d’Euler (1766)

Elle a deux formes équivalentes :
- Tout polyèdre sans trou dont les faces sont rigides est rigide.
- Tout polyèdre sans trou constitué de triangles est rigide (inutile de remplir les triangles car ils sont rigides).

Cauchy (1813)

Il prouve la rigidité de tous les polyèdres convexes sans trous.

Bricard (1893)

Il fabriqua un octaèdre flexible, mais dont les faces s’interpénètrent.

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Polyèdre flexible

Connelly (1977)

Il fabrique le premier polyèdre flexible non-convexe : la conjecture de Cauchy est fausse !

Le polyèdre de Steffen

C’est le polyèdre flexible le plus simple connu.

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Patron du polyèdre de Steffen

Le Théorème du soufflet

Sa conjecture fut proposée après la création du premier polyèdre non-convexe et est encore due à Connelly et à Sullivan.
Il fut démontré en 1997 par Connelly, Sabitov et Walz.

L’octaèdre de Bricard

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Octaèdre de Bricard

Pour comprendre pourquoi il est flexible, il nous faut accepter une règle très simple mais difficile à expliquer mathématiquement. Cette règle dit que quatre segments formant un quadrilatère dans un espace à trois dimensions est flexible.

Nous partons alors d’un quadrilatère ABA’B’ dont les côtés opposés sont égaux :
AB=A’B’ et AB’=A’B
La droite L est la droite passant par les milieux de [AA’] et [BB’]. Les cotés égaux sont tracés de couleurs similaires.

On va montrer que la droite L est perpendiculaire à (AA’) et (BB’).

En effet : les triangles BB’A et BB’A’ sont superposables :
- [AB]=[A’B’]
- [A’B]=[B’A’]
- [BB’] est commun
- Alors les médianes [AI’] et [A’I’] sont de même longueur, ce qui fait que AA’I’ est un triangle isocèle, donc que la médiane L est perpendiculaire à (AA’).
- En faisant le même raisonnement pour la droite (BB’), on obtient aussi qu’elle est perpendiculaire à L.
- Donc L est un axe de symétrie du quadrilatère quelle que soit sa déformation.

Maintenant mettons un point S a l’extérieur de L. On peut remarquer que si on relie S aux quatre points de départ, la figure est toujours flexible. On place un point S’ qui est le symétrique de S par rapport à L, et relions-le encore aux quatre points de départ. Du fait que S’A=SA’, M’B=MB’, M’A’=MA et M’B’=MB, les segments [S’A], [S’B], [S’A’] et [S’B’] gardent leurs longueurs lorsque la pyramide ABA’B’S se tord. Donc S’ suit S en restant sa symétrique et l’octaèdre ABA’B’SS’ est flexible. On a alors le flexible de Bricard.

Le théorème du soufflet

La conjecture

On raconte que Sullivan eut l’idée de souffler de la fumée dans le polyèdre de Connelly et observa que celle-ci ne ressortait pas lorsqu’il pliait le polyèdre, ce qui éveilla son attention. Il proposa, avec l’aide de Connelly la Conjecture du soufflet.

Le théorème

La conjecture à été prouvée exacte par Connelly, Sabitov et Walz, ceux-ci ont réussi en utilisant une branche des mathématique plutôt récente.

Ils ont utilisé les mesures de chaque arête qu’ils ont appelées I1,I2,I3… Ils trouvèrent que le volume V doit satisfaire à une équation du n-ème degré :

a_0 + a_1 \times V + a_1 \times V^2 + \dots + a_n \times V^n = 0

Le degré n dépend du patron utilisé et les coefficients de l’équation (a0, a1, a2…) dépendent des longueurs de I1, I2, I3... En fait ça veut dire qu’avec un patron il ne peut y avoir qu’un nombre restreint de volumes différents, donc notre polyèdre convexe est obligé de garder son volume car sinon il aurait un nombre infini de volumes différents pendant le mouvement.

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