Stage « Révolutions et mathématiques » avec la Science Académie

Les mathématiques apparaissent parfois comme une science statique, ne recélant que des vérités intangibles. Or rien n’est plus faux : leur histoire est à la fois celle de remises en cause de vérités apparemment établies, et celle de révolutions dans la façon de regarder le monde. Ces révolutions se sont succédées au rythme des grandes étapes de l’histoire de l’humanité, et la période contemporaine est elle-même d’un richesse remarquable à cet égard. Le stage se propose d’évoquer plusieurs de ces révolutions, de les toucher du doigt par une approche pratique, et d’ébaucher une réflexion sur leur portée au-delà du champ des mathématiques.

La forme : conférences et discussions avec des mathématiciens et scientifiques, travaux pratiques. Deux heures par jour en moyenne (sans doute trois demi-journées) seront consacrées à un travail en petits groupes sur un sujet propre à chaque groupe, lié au thème général. Ce travail débouchera sur une restitution le vendredi. Pour ceux qui le peuvent, il servira de base à la présentation d’animations lors du festival Paris Montagne fin juillet

 Dates : 5 journées, du 20 au 24 avril 2009 de 9h00 à 17h00.
 Lieu : Institut Henri Poincaré (Paris 5e).
 Public : 20 jeunes à partir de la première S.

Thèmes

La première demi-journée sera consacrée à quelques points saillants de l’histoire des mathématiques marquant d’emblée l’importance des révolutions qui s’y sont produites.

La dernière demi-journée sera l’occasion de présenter le travail réalisé, avant une discussion de bilan sur le thème « les mathématiques et le monde ».

Les huit demi-journées restantes comporteront les thèmes suivants :

 De la révolution euclidienne… à la non-euclidienne

La révolution euclidienne marque le début de la méthode axiomatique qui table sur la logique et la rationalité du monde, tandis que la découverte des géométries non euclidiennes ouvre le champ des possibles sur la forme même de notre espace.

• Conférence-débat avec un mathématicien.
• Séance de travail collectif sur la notion de courbure locale et globale à base de découpages, avec quelques démonstrations (co-animée par certains stagiaires).
• Groupe de travail sur la recherche de modèles de géométries finies.

 De Pascal à Kolmogorov et Chaitin

Les probabilités et le hasard en mathématiques. Pascal a été le premier à faire des calculs sur les probabilités. Aujourd’hui on arrive grâce à ces calculs à faire des prédictions sur des phénomènes aléatoires. Mais de plus on sait prouver que le « hasard » n’est pas qu’une ignorance de notre part et qu’il a une existence objective, même en mathématiques, ce qui heurte bien des idées reçues.

• Conférence-débat avec un mathématicien.
• Séance de travail collective sur un sujet à définir.
• Groupe de travail : comment on peut calculer pi de façon aléatoire avec des aiguilles de Buffon ou avec des nombres premiers entre eux, et réalisation de programmes sous Excel.
• Ou bien : travail sur des suites de nombres dont il faudra tenter de réduire la définition au maximum, ou au contraire essayer de créer des suites de nombres pseudo-aléatoires.

 La théorie des jeux en biologie

En pleine année Darwin, Pierre-Henri Gouyon nous expliquera comment les problèmes soulevés en théorie des jeux peuvent avoir des applications dans notre façon de comprendre l’évolution et la coévolution des espèces.

• Conférence-débat avec Pierre-Henri Gouyon.
• Séance de travail collective sur le dilemme du prisonnier (modélisé sur ordinateur).
• Groupe de travail : sujet à définir.

 La révolution informatique et les mathématiques

De Turing aux développements de la combinatoire et des preuves sur ordinateur : initiée par des recherches en logique mathématique, l’informatique s’est développée de façon autonome et a apporté en retour des visions renouvelées et des développements imprévus dans des domaines importants de mathématiques, ainsi qu’une approche expérimentale de certaines questions. Quelle est la portée de ce bouleversement ?

• Conférence-débat avec un chercheur.
• Séance de travail collective à définir (par exemple sur des machines de Turing virtuelles).
• Groupes de travail : problèmes de combinatoire, ou bien travail sur le théorème des 4 couleurs ou la conjecture de Képler.

 Mathématiques du déterminisme et mathématiques du chaos

À la fin du dix-huitième siècle, les progrès dans la résolution des équations de la mécanique et la nature même de ces équations amenaient les contemporains à penser que l’évolution du monde était entièrement déterminée par son état présent. Les théories du chaos qui ont connu un grand développement au vingtième siècle sont venues contrebalancer cette idée. Quelles sont ces théories et où s’appliquent-elles ?

• Conférence-débat avec un chercheur.
• Séance de travail collective sur divers systèmes chaotiques.
• Groupes de travail : l’algorithme du boulanger, les automates cellulaires, construction de systèmes physiques (pendules doubles ?) à caractère chaotique.