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Systèmes dynamiques et fractales

Par François Gaudel

Il s’agit des sujets proposés dans l’atelier Exploration Mathématique en 2007-2008. Le document réalisé par les élèves sur la Courbe du dragon est également mis en ligne.

Pliages et courbe du dragon

Courbe du dragonLe point de départ est simple : on plie une feuille en deux, puis encore en deux, puis encore en deux, etc. A la fin on déplie tout et on observe le résultat : une très belle courbe en dents de scie qu’on appelle courbe du dragon.

Dans un premier temps, il s’agit de programme le traçage de cette courbe grâce aux L-systems. Si on code les plis successifs par des 0 et des 1 (suivants qu’ils soient vers la droite ou la gauche), on peut alors étudier la propriété de la suite obtenue.

Ensuite, on peut montrer que la courbe du dragon, malgré sa forme étrange, permet de réaliser un pavage du plan.

Par ailleurs, on observe que lorsque l’angle de dépliage varie, on obtient des figures très différentes, des courbes, des surfaces qui semblent paver le plan. C’est peut-être l’occasion de comprendre l’influence de cet angle, d’approcher la notion de dimension fractale et d’obtenir des très beaux tracés. Enfin, une autre possibilité, c’est de voir quel type d’image on obtient lorsqu’on fait un pliage en trois plutôt qu’en deux.

IFS et images

IFS saxophonisteLes IFS (systèmes de fonctions itérées) permettent de réaliser des figures dont chaque élément est une copie réduite de la même figure. Il s’agit d’abord d’apprendre à construire de très jolies images (écrire son nom fractal, une feuille composée de feuilles, un animal composé d’animaux identiques). Quelles sont les caractéristiques des images donnant les plus beaux résultats ? Faut-il des images riches en détails ? Avec des grosses zones monochromes ?

Mathématiquement, on peut étudier les transformations utilisées pour les itérations, qui sont des transformations affines contractantes. Pourquoi le logiciel les code par un triangle (image d’un triangle) ? Par ailleurs, pour faire le lien avec le thème des systèmes dynamiques, on peut remarquer que la figure obtenue est un point fixe pour un certain opérateur (dit de Hutchinson).

Les IFS possèdent une application pratique dans la compression d’images, que l’on peut mieux comprendre en étudiant le théorème du collage : chaque image peut être approchée aussi finement que l’on veut par une IFS.

On peut également développer une activité destinée aux élèves de primaire afin qu’ils puissent eux aussi construire des IFS.

Transformation du boulanger

Transformation du boulangerLe boulanger pétrit un bloc de pâte rectangulaire, il l’aplatit , la coupe en deux morceaux et place la moitié avant sur le dessus, en recommençant un grand nombre de fois. Lorsqu’on étudie cette transformation, on se rend compte qu’elle « mélange » très efficacement, puisque deux points très proches se retrouvent très vite éloignés, et il est vite impossible de prévoir leur trajectoire.

En modélisant cette transformation grâce à un codage binaire, on se rend compte qu’elle correspond à un décalage de 0 et de 1. Cette transformation est donc un modèle très général que l’on rencontre dans un grand nombre de systèmes dynamiques. On pourra donc aborder les notions de points fixes, d’orbites, de points-selle, de stabilité.

On peut aussi étudier une version plus simple de cette transformation : le mélange parfait d’un jeu de cartes. Lorsqu’on mélange un jeu de 52 cartes de manière parfaite (en coupant et en alternant une carte de chaque paquet) 8 fois d’affilée, le jeu est de nouveau dans l’ordre de départ !!!! Ceci a des applications intéressantes pour des tours de magie. Mais qu’en est-il si on modifie le nombre de cartes ?

Suite logistique et ensembles de Mandelbrot et Julia

Le point de départ est ici une suite très simple : u(n+1) = k*u(n)*(1-u(n))

Au début, tout est simple, cette suite se comporte de manière prévisible et converge gentiment vers sa limite. Par contre, lorsqu’on fait varier k, les choses se compliquent : le point d’équilibre devient instable, des orbites périodiques apparaissent, de plus en plus longues, de plus en plus nombreuses. Et puis, tout à coup, c’est le chaos qui apparaît, le comportement devient imprévisible.

Ce sujet permet de se familiariser avec les notions fondamentales concernant les systèmes dynamiques. Dans un deuxième temps, on peut comprendre d’où viennent et comment sont construits les célèbres ensembles de Julia et de Mandelbrot (et faire un lien avec la suite logistique).

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Ensemble de Mandelbrot
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